الأخطاء الشائعة في الكسور

مقدمة عن الكسور
الكسور:
هي الأعداد غير الصحيحة أو هي طريقة معينة للتعبير عن مثل هذه الأعداد. فالعدد "نصف" يعبر عنه بهذا الشكل ( ) ويطلق عليه كسر اعتيادي. ويطلق على الرقم السفلي – وهو في هذه الحالة (2) – "المقام" وهو يعبر عن عدد المقاطع التي يقسم عليها العدد الإجمالي – أما الرقم العلوي ويطلق عليه "البسط" – وهو في هذه الحالة (1) – فإنه يعبر عن عدد المقاطع الموجودة في هذا الكسر الاعتيادي.
هناك كسور اعتيادية بسيطة أخرى مثل ثلث ( ) وثلثين ( ) وربع ( ) وثلاثة أرباع ( ). وعادة ما تختصر الكسور الاعتيادية إلى أقل صيغة لها بقسمة البسط والمقام على أي عامل مشترك بينهما. فعلى سبيل المثال ، يعاد صياغة الكسر ( ) إلى ( ) وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على (2). ومن ثم لا يستخدم الكسر ( ) مثلا لأنه هو بالضبط القيمة ( ). ومن الممكن أيضا استخدام الكسور الأكبر من واحد صحيح مثل ( ) وهذه تسمى كسور معتلة. ويمكن كذلك اختصارها إلى أقرب رقم صحيح وكسر.
وهناك صورة أخرى للتعبير عن هذه الأعداد وهي صورة الكسر العشرية فيعبر عن العدد بقيمته بالنسبة للعدد 10 أو 100 أو 1000 فالعدد غير الصحيح نصف يعبر عنه بهذا الشكل ( 5. ) ويعود الفضل في اكتشاف فكرة الكسور العشرية للرياضي المسلم الكاشي الذي توصل إليها في القرن الهجري/الرابع عشر الميلادي وظلت مستخدمة بالشكل الذي تحدث عنه حتى الآن. كما أهدى الكاشي إلى البشرية وعلم الحساب فكرة تحويل الكسور الاعتيادية إلى كسور عشرية. ويظهر ذلك في كتابه مفتاح الحساب الذي حوى للمرة الأولى على الكثير من المسائل التي تستعمل فيها الكسور العشرية. كما استخدم الفاصلة التي يسرت الحساب وأصبحت بعد ذلك ذات شأن عظيم في الآلات الحاسبة الحديثة.
ومع زيادة استخدام النظام المتري في كل أنحاء العالم ، زاد استخدام الكسور العشرية مثل ( 0.5 ) و ( 3.2 ) بالمقارنة بالكسور الاعتيادية لعدة أغراض على الرغم من أنه لا يمكن حساب الكسور العشرية البسيطة في استخدامات الحياة اليومية.

الأخطاء الشائعة في الكسور :
تدرس الكسور في المناهج الحالية ابتداء من الصف الأول الابتدائي وعلى مراحل متدرجة ثم يتعمق التلاميذ في دراسة الكسور بمستوياتها المختلفة في الصفوف الأعلى ، وتدرس عمليات جمع الكسور المتحدة المقامات وعمليات جمع الكسور مختلفة المقامات التي تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأدنى ثم إجراء العمليات المختلفة على الكسور ، وهكذا.

والواقع أن موضوع الكسور من الموضوعات التي تتكرر بها أخطاء وتدعو للإنتباه واليقظة من جانب المعلم أولا بأول. وبدراسة أنماط الأخطاء التي يقع فيها التلاميذ نجد أن من الأخطاء الشائعة في هذا المجال :

أ‌- في الكسور الإعتيادية :
• أخطاء في جمع الكسور مثل : + =
• أخطاء في طرح الكسور مثل : - = 1
• أخطاء في ضرب الكسور مثل : × =
• أخطاء في قسمة الكسور مثل : ÷ =

ب- الكسور العشوائية :
• وضع العلامة العشرية خطأ مثل :
0.1 + 0.2 = 2.1
3. × 4. = 1.2
5. + 03. = 8.

طرق العلاج والوقاية من الأخطاء :
علاج الأخطاء الشائعة والوقاية منها يتعلق أساسا بالجانب الذي يمكن التحكم فيه وهو أسلوب التدريس ، فوقوع التلاميذ في الأخطاء يكون بمثابة القيد الذي يحد من تقدم التلاميذ ويعوق حركة نموهم في الرياضيات ويبعدهم عن دراستها. فالبداية السليمة في تدريس الرياضيات يساعد كثيرا على النمو السريع وكسب التلاميذ فهما للرياضيات وميلا نحو دراستها وفتح المجال لكثير من ذوي الإستعدادات الرياضية وتوجيههم التوجيه السليم وإكتشافات الموهوبين منهم.

وتتضمن خطة العلاج والوقاية أساليب كثيرة منها :
(1) معرفة المعلم لأنماط الأخطاء الشائعة وأسبابها (سبق ذكرها).
(2) مراعاة الخصائص العامة لطرق التدريس الجيدة.
(3) مراعاة المعنى والفهم عند تدريس المعلومات والمهارات الرياضية :
فمثلا عند تدريس الكسور :
• يدرس العمليات من البسيط إلى المركب ، فعند تدريس موضوع الكسور الإعتيادية يدرس أولا مفهوم الكسر ، ثم كتابة رمز الكسر ثم الإنتقال إلى جمع الكسور متحدة المقامات ويسير في تدريس متدرج للموضوع حتى يتقن التلاميذ العلميات المختلفة على الكسور.

أخطاء في عمليات جمع الكسور :

- أوجد ناتج ما يلي :


• السبب : عدم فهم التلاميذ لعمليات جمع الكسور حيث تم جمع البسط مع البسط والمقام مع المقام.

• العلاج : تعتبر الشفافيات الملونة هي أنسب وسيلة لتوضيح الحل في مثل هذا النوع من المسائل ، والخطوات التالية توضح ذلك :

1- يعرض على التلاميذ شفافية مرسوم عليها منطقة مستوية دائرية ويطلب من أحد التلاميذ أن يذكر إسم المنطقة.
( الإجابة منطقة دائرية )

2- يعرض على التلاميذ الجزء الآخر من الشفافية حيث تكون المنطقة المستوية مقسمة إلى ثمانية أجزاء متساوية. ويسأل كم عدد الأجزاء المتساوية؟ ( الإجابة ثمانية أجزاء )

3- يعرض على التلاميذ الجزء الآخر من الشفافية حيث تكون 3 أجزاء ملونة باللون الأحمر ، ثم يسأل التلاميذ عن الكسر الممثل للجزء الملون؟ (الإجابة ) ويطلب من أحد التلاميذ كتابة الكسر على السبورة.

4- تزال الشفافية السابقة وتضاف شفافية أخرى حيث يكون فيها أربعة أجزاء ملونة بلون أزرق. ويسأل أحد التلاميذ عن الكسر الممثل للجزء الملون؟ (الإجابة ) ويطلب من أحد التلاميذ كتابة الكسر على السبورة.
5- تدمج الشفافيتان التي في الخطوتين 3،4 ويوضح للتلاميذ أننا نقوم بعملية جمع للكسرين. ويسأل ما هو الكسر الممثل للأجزاء الملونة باللونين الأحمر والأزرق ؟ ( تكون الإجابة )

يوضح للتلاميذ أن هذا يعني :



6- يوضح للتلاميذ أننا قمنا بجمع البسطين فقط ولم نجمع المقامين وهذا واضح من الرسم الموجود بالشفافيات ، ذلك لأن عدد أقسام المنطقة لم يتغير. أي أنه عند جمع الكسور المتحدة في المقام نجمع البسوط فقط ولا نجمع المقامات ويكون ناتج جمع الكسرين هو :









شرح الكسور المتكافئة


مقدمه :
يستفيد أكثر التلاميذ من استخدام الأشياء المحبوسة في توضيح مفهوم الكسور المتكافئة هذا النشاط مصمم لتوضيح فكرة أنه قد يكون للرقم عدة أسماء متشابهة مثل الأشخاص وقد يستخدم واحدا من هذه الأسماء.

الأهداف السلوكية :
- أتوقع في نهاية الدرس أن يكون التلميذ قادر على أن :
1- يتعرف مفهوم الكسور المتكافئة .
2- التميز بين البسط والمقام .
3- يكتب رمز الكسر .

الوسائل :
قطع مستطيلة من الورق – السبورة

الأنشطة من الاجراءات :
1- قم بإعطاء كل طالب قطعة ورق مستطيلة. اطلب منهم طوي الورقة إلى نصفين وضح لهم أن الكسر هو جزء من الكل بعد ذلك أطلب منهم تلوين واحدا من الجزأين المتساويين بعد ذلك أعرض ورقة مكتوب عليها المفردات بسط الكسر ، مقام الكسر .

إن بسط الكسر هو عدد الأجزاء المظللة. ومقام الكسر هو العدد الكلي للأجزاء المتساوية .

2- أكرر نفس النشاط بقطع من الورق وبعد العرض كل مرة يجب أن يكتب الطالب الكسر على السبورة ويفرق بين بسط الكسر ومقام الكسر.
3- أطلب من التلاميذ أن يطووا ورقة مستطيلة إلى جزئين متساويين ويلونوا واحدا من الأجزاء المتساوية ثم اسألهم :
ما كسر الورقة الملون ؟

الآن اطلب طوي نفس الورقة مرة ثانية مناصفة ثم يفتحونها.
اسألهم كم عدد الأجزاء المتساوية ؟
الآن الاجابة (4)
ماقيمة الكسر المظلل ؟
وحيث أن المساحة المظللة لم تتغير فإن هذا يعني التساوي

.. يكافي

ثم وضح للطلاب أن المساحة المظللة اصبح لها اسمين : هما متكافئان .

أطلب طوي الورقة للمرة الثالثة ثم يفتحوها :
ماقيمة الكسر الجديد الذي وجدوه مكافئ للكسر السابق ؟
( )

.. الآن لدينا 3 كسور تسمي نفس المساحة المظللة.

وهكذا أصبح التلاميذ لديهم فهم قوي لفكرة الكسور المتكافئة وهم الآن مستعدون لإيجاد اسم آخر لكسر بمضاعفة أو قسمة بسط الكسر ومقام الكسر على نفس الرقم ما عدا الصفر .

هذا التأكيد على فهم الكسور المتكافئة سيفيد التلاميذ عندما يبدأون عمليات إضافة وطرح الكسور مع اختلافات مقامات الكسر.


مقترحات


قد يستخدم المعلم التلاميذ ليمثل الكسور على سبيل المثال يضع تلميذا واحدا أمام الفصل ويوضح أن هذا التلميذ ( 1 ) خارج كل الفصل ( يفترض أن عدد التلاميذ 30 ) .

.. هذا التلميذ يمثل من الفصل

ولتوضيح ما هو مقام الكسر يجب توضيح أن هذا الطالب الذي يقف أمام الفصل هو ما زال جزء من الفصل .

.. مقام الكسر يظل 30 لا ينقص واحد.

الــكــســور


الكسور المتكافئة :
فيما يلي اشكال متطابقة قسمت بطرق مختلفة :














جزء واحد من الأجزاء الثلاث المتساوية ملون بالأحمر










جزءان ملونان بالأحمر من الأجزاء الستة المتساوية

لاحظ أن الكسرين :
متساويان لأنهما يمثلان نفس الأجزاء .
مـقـارنة الكــسور



انظر إلى لوحة الكسور المجاورة وأجب عن الأسئلة التالية :

كم ربعا يوجد في الواحد ؟
كم سدسا يوجد في الواحد ؟
كم نصفا يوجد في الواحد ؟










نلاحظ أن الواحد يكافئ كسرا يكون فيه عدد البسط هو نفس عدد المقام :

1 = + =
1 = + + + =
1 = + + + + + =

الآن املأ الفراغات وأنت تقرأ الكسور التالية بشكل صحيح :

1 = = = = = =




اسئلة اثرائية


في أي قائمة كسور تكون الكسور كلها متكافئة :

أ- ، ،
ب- ، ،
ج- ، ،
د – ، ،


وأحمد وأمه وأخته كانوا يأكلون كعكة
أكل أحمد الكعكة
وأكلت أخته الكعكة وأكلت الأم الكعكة
كم يتبقى من الكعكة ؟
أ- ب- ج- د- لا شيء



ما هو الكسر الاكبر قيمة ؟

أ- ب- ج- د-